Вказівки та відповіді

Задачі на розрізання

1.

2.

???

3. 

Задачі про піратів

Задача 1. Нехай в 1-го пірата було х-монет, а 2-го пірата y-монет
Задачу розв'язуємо з кінця.

3.x=15*2=30 - перед останнім програшем, було в 1-го
   y=33-15=18 - перед останнім виграшем, було в 2-го

2.x=30-18=12
   y=18*2=36   

3. x=12+12=24
    y=36-12=24

А можна розв'язати рівняння

x/4+y/4+x/8=15
y/2+x/4+x/4+y/4+x/8=33

* * *
 Задача 2. 
Нехай Джек купив x бочок рому. 
Нехай = це знак присвоїти, а не дорівнює.
1. x=x-x/2=x/2
2. x=x/2/2=x/4
3. x=x/4/2=x/8
4. x/2+x/8=5
5*x/8=5
x=8

* * * 
Задача 3
???

Математичні ігри

Рішення

Перший варіант гри представляє собою гру Баше з максимальним ходом, рівним 4. Будемо аналізувати гру «з кінця».Якщо залишається 1, 2, 3 або 4 сірники, то той гравець, чия черга ходу, забирає їх і виграє. Якщо залишається 5 сірників, то, скільки сірників не візьми, другий гравець забирає решта і виграє. Отже, потрібно постаратися залишити супернику 5 сірників після свого ходу. Це можна зробити, маючи від 6 до 9 сірників на столі під час свого ходу. Далі знаходимо, що якщо на столі залишається 10 сірників, то гравець, що робить хід програє, оскільки, скільки б він не взяв, противник своїм ходом зможе залишити йому 5 сірників. Далі, аналогічно визначаємо, що програшними для гравця, що робить хід, є кількості сірників, рівні 15, 20 і 25. Оскільки спочатку сірників 25, то рішення таке: виграє другий гравець, якщо буде завжди своїм ходом залишати перший число сірників, кратне 5 ти. І в загальному випадку: якщо в грі Баше гравці можуть робити ходи від 1 до k, то для перемоги потрібно залишати супернику кратне (k + 1) число сірників. І, якщо початкова кількість також кратно (k + 1), то виграє другий гравець, а якщо ні - то перший.Друга гра в задачі набагато цікавіше. На її прикладі можна навчитися знаходити виграшну стратегію для практично будь-якої математичної гри. Всього в грі може утворитися 26 позицій: від 25 до 0 сірників на столі. Побудуємо таблицю з 26 стовпців (це зручно робити на листках в клітинку)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Зрозуміло, що якщо до гравця дійшов хід, а на столі 0 сірників, то він програв. Відзначимо цей факт, поставивши букву П в нульовій комірці:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П

Тепер знайдемо, як одним ходом потрапити в нульову осередок? Це можна зробити з осередків №1, №3 і №6 (тобто, коли на столі 1, 3 або 6 сірників). Отже, ці позиції виграшні для гравця, що робить хід. Поставимо у відповідних осередках букву В:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У		У			У

Тепер пошукаємо осередки, з яких будь-який хід призводить в клітинку з буквою В. Іншими словами, знайдемо позиції, з яких будь-який хід створює умови для виграшу суперника. 
Зараз ми можемо однозначно сказати, що такими осередками є: №2 і №4. Ставимо в них букву П

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П		У

Одним ходом в осередок №2 або в №4 можна потрапити з осередків №№3, 5, 7, 8, 10. Це виграшні позиції - ставимо там букви В.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У		У

Далі послідовно знаходимо програшні позиції (ті, з яких все ходи ведуть в виграшні позиції) і виграшні позиції (ті, з яких одним ходом можна потрапити в програшну) і таблиця буде заповнюватися наступним чином: програшний: №№9, 11

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П

Виграшні: №№12, 14, 15, 17

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У		У	У		У

Програшні: №№13, 18

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П	У	У		У	П

Виграшні: №№16, 19, 21, 24

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У		У			У

Програшні: №№20, 22

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П		У

Виграшні: №№23, 25

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П	У	У	У	У	П	У	П	У	П	У	У	У

Отже, позиція, коли на столі лежать 25 сірників - виграшна. Для перемоги першому гравцеві потрібно взяти 3 сірники і далі залишати супернику числа, що дають при діленні на 9 залишок 0, 2 або 4.


* * *
Логічні задачі 
Задача 7
Трохи. Місяць старий (видно його відображення у воді)
Не скоро. Старий місяць видно на ранковій зорі.
Осінь. За положенням сонця легко збагнути, що журавлі летять на південь.
У річок, поточних в Північній півкулі, правий берег крутий. Значить, річка тече від нас до горизонту.
Судноплавна. Видно бакени.
Поїзд стоїть. Світиться нижній вічко світлофора - червоний.
Нещодавно. Він знаходиться зараз на найближчому блокувальному ділянці.
Дорожній знак показує, що попереду залізничний переїзд.
До гальмуванню. Дорожній знак показує, що попереду крутий спуск.
Ймовірно, є. Варто знак, що зобов'язує машиніста закрити піддавали.
У небі слід літака, який зробив петлю. Фігури вищого пілотажу дозволяється робити тільки неподалік від аеродромів.
Знак біля залізничної колії показує, що зустрічному поїзду доведеться підніматися вгору по ухилу. Загальмувати його буде неважко.

Дме. Дим паровоза стелиться, а адже поїзд, як ми знаємо, нерухомий.

* * *